Рекурсия. Рекурсивные подпрограммы.
По известному вам правилу доступности переменных (объектов), в теле подпрограммы доступны все переменные (объекты), объявленные в самой подпрограмме, а также переменные (объекты) объявленные во всех объемлющих блоках, в том числе и имя самой подпрограммы. Исключение составляет случай, когда переменная (объект) имеет такое-же имя как и переменная в объемлющем блоке и экранирует собой глобальную переменную.
Следствием правила о доступности переменных (объектов) является возможность вызова подпрограммой самой себя.
Рекурсивные подпрограммы.
Процедуры и функции, производящие вызов "самих себя" называют рекурсивными.
Рекурсия. Рекурсивный алгоритм.
Рекурсией называется ситуация, когда какая-то подпрограмма прямо или через другие подпрограммы вызывает себя в качестве подпрограммы. Реализуемый при этом алгоритм называется рекурсивным.
Рекуррентные соотношения.
В математике очень часто встречаются последовательности чисел, в которых каждый следующий член выражается через предыдущие. В арифметической прогрессии, например, каждый следующий член равен предыдущему, увеличенному на разность прогрессии:
a{i} = a{i-1} + d.
Формулы, выражающие очередной член последовательности через один или несколько предыдущих членов, называют рекуррентными соотношениями.
Рассмотрим для примера функцию вычисления факториала n!. Как правило ее определяют как правило произведения первых n чисел натурального ряда
n!=1*2*3*…*n
Такое произведение можно легко вычислить с помощью итеративных конструкций (итерация ― это повторение), например, оператор цикла For
Procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
Var fact:Longint;
n,i:Integer;
Begin
n:=StrToInt(Edit1.Text); // Вводим n для вычисления n!
fact:=1;
For i:=1 to n do fact:=Fact*i;
Label1.Caption:='Факториал ' +IntToStr(n)+'! ='+IntToStr(fact);
End;
Однако существует другое определение факториала, в котором n! выражается через предыдущий (n-1)!, т.е. используется рекуррентная формула:
0!=1
для любого n>0 n!=n*(n-1)!
Наличие рекуррентного соотношения позволяет использовать рекурсию. Например, программа, использующая рекурсивную функцию для вычисления факториала n! имеет следующий вид:
Function fact(i:Integer):Longint;
Begin
If i=0 then fact:=1
else fact:=i*fact(i-1);
End;
Procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);
Var n:Integer;
n:=StrToInt(n); // Вводим n для вычисления n!
Label1.Caption:='Факториал'+IntToStr(n)+'! ='+IntToStr(fact(n));
End;
Чтобы понять, как она работает, вспомним, что на время выполнения подпрограммы вызывающая подпрограмма приостанавливается, а в оперативной памяти выделяется место для локальных переменных и параметров, вызванной подпрограммы. Таким образом, при вызовах подпрограмм в оперативной памяти "накапливаются" приостановленные программы. При рекурсивных вызовах одной и той же функции fact происходит то же самое, т.е. при каждом новом вызове функции fact для ее локальных переменных и параметров выделяются новые ячейки памяти. по завершению работы функции эти ячейки удаляются.
Программы, в которых используются рекурсивные подпрограммы отличаются простотой, наглядностью и компактностью кода. Однако за эту простату приходится расплачиваться неэкономным использованием оперативной памяти, так как выполнение рекурсивных подпрограмм требует значительно большего размера оперативной памяти во время выполнения, чем нерекурсивных. При каждом рекурсивном вызове для локальных переменных, а также для параметров подпрограмм, которые передаются по значению, выделяются новые ячейки памяти в программном стеке.
В Delphi нет никаких ограничений на рекурсивные вызовы подпрограмм, необходимо только хорошо понимать, что каждый очередной рекурсивный вызов приводит к образованию новой копии локальных объектов подпрограммы и все эти копии, соответствующие цепочки активизированных и не завершенных рекурсивных вызовов, существуют независимо друг от друга.
Для рассмотрения различных форм рекурсивных подпрограмм введем некоторые определения, имеющие отношение к рекурсии.
Глубина рекурсии.
Максимальное число рекурсивных вызовов подпрограммы без возвратов, которое происходит во время выполнения программы, называется глубиной рекурсии.
Текущий уровень рекурсии.
Число рекурсивных вызовов в каждый конкретный момент времени, называется текущим уровнем рекурсии.
Формы рекурсивных подпрограмм.
В общем случае любая рекурсивная подпрограмма (для примера назовем ее Rec) включает в себя некоторое множество операторов S и один или несколько операторов рекурсивного вызова P.
Главное требование к рекурсивным подпрограммам.
Главное требование к рекурсивным подпрограммам заключается в том, что вызов рекурсивной подпрограммы должен выполняться по условию, которое на каком-то уровне рекурсии станет ложным. Если условие истинно, то рекурсивный спуск продолжается. Когда оно становится ложным, то спуск заканчивается и начинается рекурсивный возврат из всех вызванных на данный момент копий рекурсивной подпрограммы.
Существует три разных формы рекурсивных подпрограмм:
1) Форма с выполнением действий до рекурсивного вызова (с выполнением действий на рекурсивном спуске).
Procedure Rec;
Begin
S;
If <условие> then Rec;
End;
2) Форма с выполнением действий после рекурсивного вызова (с выполнением действий на рекурсивном возврате).
Procedure Rec;
Begin
If <условие> then Rec;
S;
End;
3) Форма с выполнением действий как до, так и после рекурсивного вызова (с выполнением действий как на рекурсивном спуске, так и на рекурсивном возврате).
Procedure Rec;
Begin
S1;
If <условие> then Rec;
S2;
End;
Все формы рекурсивных процедур находят применение на практике. Многие задачи, в том числе вычисление факториала, безразличны к тому, какая используется форма рекурсивной процедуры.
Рассмотренная в начале рекурсивная функция fact, выполняет вычисление факториала на возврате. Рассмотрим более подробно действия этой функции при вычислении 5!, используя трассировку программы (запись значений переменных на различных этапах выполнения программы).
В качестве примера мы использовали рекурсивную функцию вычисления факториала натурального числа. Может показаться, что составить программу для вычисления n! используя прямую формулу значительно проще, чем составить программу на основе рекуррентного соотношения. Но в подавляющем большинстве случаев это не так. В качестве второго примера рассмотрим программу для вычисления члена последовательности Фибоначчи, для которого рекуррентное соотношение
F(1)=1,
F(2)=1,
для любого n>2 F(n)=F(n-1)+F(n-2)
выглядит значительно проще, чем прямая формула
используя которую составить программу практически невозможно. Приведем функцию, благодаря которой можно быстро рассчитать эти числа:
Function fib(i:Integer):Longint;
Begin
If (i=1) or (i=2) then fib:=1
else fib:=fib(i-1)+fib(i-2);
End;
Косвенная рекурсия.
Рекурсивный вызов может быть косвенным. В этом случае подпрограмма обращается к себе опосредованно, путем вызова другой подпрограммы, в которой содержится обращение к первой, например:
Procedure A (i : Byte);
begin
В (i);
end;
Procedure В (j : Byte) ;
begin
а(j);
end;
Если строго следовать правилу, согласно которому каждый идентификатор перед употреблением должен быть описан, то такую программную конструкцию использовать нельзя. Чтобы такого рода вызовы стали возможны, вводится опережающее описание:
Procedure В (j : Byte); Forward;
Procedure A (i : Byte);
begin
В (i);
end;
Procedure B;
begin
A(j);
end;
Как видим, опережающее описание заключается в том, что объявляется лишь заголовок процедуры в, а ее тело заменяется стандартной директивой Forward. Теперь в процедуре А можно использовать обращение к процедуре В ― ведь она уже описана, точнее, известны ее формальные параметры, и компилятор может правильным образом организовать ее вызов. Обратите внимание: тело процедуры В начинается заголовком, в котором уже не указываются описанные ранее формальные параметры.
Пример использования рекурсивной подпрограммы:
Задача: пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самца и самки), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько пар кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов и в течение года кролики не умирают, а их воспроизводство не заканчивается?
Решение:
Интерфейс:
Программный код:
Procedure recursya(i:Int64; Var kol1:Int64; Var kol2:Int64);
Var m:Int64;
Begin
If i=1 then
Begin
kol1:=1; //первоначальное количество пар кроликов
kol2:=2; //количество пар кроликов через месяц
End
else
Begin
i:=i-1; //рекурсивный спуск
recursya(i,kol1,kol2); //рекурсия
m:=kol2;
kol2:=kol2+kol1;
kol1:=m;
End;
End;
Procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
Var kol1,kol2:Int64;
Begin
recursya(12,kol1,kol2); //12 -- количество месяцев
Label1.Caption:=IntToStr(kol2);
End;
Контрольные вопросы:
1. Что такое рекурсия?
2. Какие соотношения называют рекуррентными?
3. В чем заключаются преимущества и недостатки в использовании рекурсивных подпрограмм по сравнению с нерекурсивными?
4. Что называется глубиной рекурсии?
5. Что называется текущим уровнем рекурсии?
6. Сформулируйте основные требования к рекурсивным подпрограммам.
7. Назовите формы рекурсивных подпрограмм.
8. Что называют рекурсивным спуском и возвратом?